AYT Matematikte Fonksiyonlar Nasıl Çalışılır?

AYT'de fonksiyonları en verimli çalışma yolu, konuyu tanım, grafik, dönüşüm, bileşke ve ters fonksiyon sırasıyla ele almak ve her aşamada aynı fikri hem cebirsel olarak hem de grafik üzerinde görmektir. Soru tiplerine geçmeden önce birkaç temel kavram yanılgısını temizlemek, sonraki haftalarda harcanacak zamanı ciddi biçimde azaltır. Fonksiyon dili polinomlarda, parabolde, logaritmada ve limit-türev-integralde yeniden karşına çıkacağı için burada kurduğun zemin, sonraki konuların da zeminidir.

Fonksiyonlar kimin için, hangi aşamada?

Bu rehber AYT Matematik testine hazırlanan 11. ve 12. sınıf öğrencileri ile mezunlar için. AYT Matematik testinde 40 soru vardır. Fonksiyon kavramı bu testte kimi zaman sorunun kendisi, kimi zaman da başka bir konunun içinde kullanılan bir araç olarak karşına çıkar.

Konuya başlamadan önce birinci dereceden denklem ve eşitsizlik çözümü, kesirli ifadelerde sadeleştirme ve üslü-köklü ifadelerle işlem yapabiliyor olman gerekir. Bu ön koşullardan emin değilsen önce kısa bir öz kontrol yapmak işine yarar; nasıl yapılacağını yeni bir konuya başlamadan önce ne kontrol edilmeli yazısında anlattık. Konuyu okulda hiç görmediysen bu yazıyı, konu anlatımıyla birlikte bir yol haritası olarak kullan.

Beş aşamalı çalışma sırası

Türkçe kaynaklarda bileşke genellikle (fog)(x) şeklinde yazılır; anlamı aynıdır: önce g, sonra f uygulanır.

Her aşamada iki temsili birlikte kullan: bir cebirsel ifade ve onun grafiği. Pashler ve arkadaşlarının (2007) öğretim rehberinde soyut ve somut temsilleri ilişkilendirmek ve görselleri sözel açıklamayla birleştirmek önerilir. Fonksiyonlarda bunun somut karşılığı, her kuralı küçük bir grafik taslağıyla birlikte yazmaktır.

Sık kavram yanılgıları

Derslerde fonksiyonlarla ilgili en çok şu yanılgılarla karşılaşıyorum:

• f⁻¹(x) ile 1/f(x)'i aynı sanmak. Buradaki −1 bir üs değildir. f⁻¹, f'nin yaptığını geri alan fonksiyondur; 1/f(x) ise f'nin çarpmaya göre tersidir.
• y = f(x − 2) grafiğinin sola kaydığını düşünmek. Grafik 2 birim sağa kayar. Çünkü f'nin eskiden x = 1'de aldığı değeri artık x = 3'te alır.
• f∘g ile g∘f'nin eşit olduğunu varsaymak. Genellikle eşit değildir; aşağıdaki birinci örnek bunu gösteriyor.
• f(a + b) = f(a) + f(b) yazmak. Bu eşitlik ancak özel fonksiyonlarda doğrudur. Örneğin f(x) = x² için f(1 + 2) = 9, oysa f(1) + f(2) = 5'tir.
• Bileşkenin tersinde sırayı korumak. (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹'dir; sıra ters döner. Çorabı önce, ayakkabıyı sonra giyersin ama çıkarırken önce ayakkabıyı çıkarırsın.
• Her bağıntıyı fonksiyon saymak. Bir grafikte dikey bir doğru eğriyi iki noktada kesiyorsa, o grafik x'e göre bir fonksiyon belirtmez.

Bu yanılgıların çoğu "biliyorum" hissi verir, çünkü kural ezberlenmiştir; hata, kuralın yanlış yerde uygulanmasından doğar.

Üç kısa çözümlü örnek

Örnek 1: Bileşkede sıra

f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² − 3 olsun. (f∘g)(2) ve (g∘f)(2) değerlerini bulalım.

(f∘g)(2) = f(g(2)) demektir. Önce g(2) = 4 − 3 = 1, sonra f(1) = 2·1 + 1 = 3 bulunur.

(g∘f)(2) = g(f(2)) demektir. Önce f(2) = 5, sonra g(5) = 25 − 3 = 22 bulunur.

Aynı sayıya iki farklı sırayla uygulanan iki fonksiyon, 3 ve 22 gibi çok farklı sonuçlar verdi. Bileşkede her zaman içteki fonksiyondan başla.

Örnek 2: Tüm tersi bulmadan f⁻¹(a)

f(x) = (2x + 3)/(x − 1), x ≠ 1 olsun. f⁻¹(5) kaçtır?

f⁻¹(5) = a demek, f(a) = 5 demektir. Buradan (2a + 3)/(a − 1) = 5, yani 2a + 3 = 5a − 5 ve 3a = 8 olur. Sonuç a = 8/3'tür.

Kontrol: f(8/3) = (16/3 + 3)/(8/3 − 1) = (25/3)/(5/3) = 5. Doğru.

İstenirse tersin tamamı da bulunabilir: y = (2x + 3)/(x − 1) eşitliğinde x yalnız bırakılırsa f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2) çıkar ve f⁻¹(5) = 8/3 yine sağlanır. Ama soru yalnızca tek bir değer istiyorsa, "f⁻¹(a) = b ise f(b) = a" fikri hem daha kısadır hem de işlem hatası riskini azaltır.

Örnek 3: Dönüşümde bir noktayı takip etmek

f'nin grafiği (1, 4) noktasından geçiyor. y = f(x − 2) + 3 grafiği hangi noktadan geçer?

f(x − 2) ifadesinde içerinin 1 olması gerekir: x − 2 = 1, yani x = 3. O noktada y = f(1) + 3 = 4 + 3 = 7 olur. Nokta (3, 7)'dir: 2 birim sağa, 3 birim yukarı.

Aynı mantıkla y = f(−x) grafiği (−1, 4) noktasından, y = −f(x) grafiği ise (1, −4) noktasından geçer. Tüm grafiği çizmek yerine tek bir noktayı takip etmek, dönüşüm sorularında hem hızlı hem de güvenli bir kontroldür.

Adım adım uygulama

1. Ön koşulları kontrol et. Denklem, eşitsizlik ve kesirli ifadelerden 10 soruluk kısa bir öz kontrol çöz; 8'in altındaysan önce oraya bir-iki gün ayır.
2. Her aşamayı iki temsille not al. Defterinin sol sayfasına kuralı, sağ sayfasına küçük bir grafik taslağını yaz.
3. Dönüşümleri tek bir tanıdık fonksiyonla dene. y = x² ya da y = |x| grafiğini alıp öteleme ve yansımaları tek tek çiz. Aynı dönüşümü farklı fonksiyonlarda görmek kuralı sağlamlaştırır.
4. Soru tiplerini şu sırayla çalış: Önce doğrudan değer hesaplama, sonra grafikten okuma, ardından parametreli sorular, en son birden fazla aşamayı birleştiren karışık sorular. Bu sıralama bir çalışma önerisidir, sınavdaki sıklığı göstermez.
5. Her aşamanın sonunda karışık set çöz. Önceki aşamalardan da soru içeren 10-12 soruluk setler hazırla. Rohrer ve Taylor'ın (2007) laboratuvar deneyinde problem türlerini karıştırmak, bir hafta sonraki testte bloklu çalışmadan daha iyi sonuç verdi.
6. Temel oturduktan sonra hatalı çözüm incele. Kendi yanlışlarından ya da öğretmeninin verdiği hatalı çözümlerden hatayı bulmaya çalış. Große ve Renkl'in (2007) çalışmasında bu yöntem ön bilgisi iyi öğrencilere yardımcı oldu; temeli zayıfken doğru örneklerle çalışmak daha uygundu.
7. Bir hafta sonra kapalı kitap tekrar yap. Beş aşamanın her birinden birer soruyu çözümüne bakmadan çöz; takıldığın aşamayı bir sonraki haftanın planına ekle.

Sweller ve arkadaşlarının (2019) derlediği bilişsel yük kuramına göre yeni bilgi kapasitesi sınırlı çalışma belleğinde işlenir; bilgi yerleştikçe bu sınır daha az kısıtlayıcı olur. Beş aşamayı aynı güne sıkıştırmak yerine birkaç güne yaymanın bir nedeni de budur.

Örnek senaryolar

Örnek senaryo (kurgusal), 12. sınıf öğrencisi: Öğrenci bileşke ve ters fonksiyon sorularında hızlı, ama grafik dönüşümlerinde sürekli yön karıştırıyor. Üç gün boyunca yalnızca y = x² ve y = |x| üzerinde dönüşüm çiziyor, her birinde bir noktanın nereye gittiğini yazıyor. Sonraki karışık sette dönüşüm sorularında nokta takibi yaparak kontrol ediyor.

Örnek senaryo (kurgusal), mezun öğrenci: Öğrenci konuyu geçen yıl görmüş, ama f⁻¹ ile 1/f'yi hâlâ karıştırıyor. Bu yanılgıyı kavram yanılgıları listesine ekleyip her ters fonksiyon sorusundan önce "−1 üs değil" notunu kenara yazıyor ve bir hafta sonra kapalı kitap tekrarda bu tip sorulara ayrıca bakıyor.

Fonksiyonlar için kontrol listesi

• Kök içi ve payda içeren ifadelerde tanım kümesini bulabiliyorum.
• Bir grafikte f(a) değerini ve f(x) = k denkleminin çözümlerini okuyabiliyorum.
• Öteleme ve yansımaları tek bir noktayı takip ederek kontrol edebiliyorum.
• (f∘g)(a) ile (g∘f)(a)'yı karıştırmıyorum.
• f⁻¹(a)'yı tüm tersi bulmadan hesaplayabiliyorum.
• f⁻¹(x) ile 1/f(x) arasındaki farkı açıklayabiliyorum.
• Her aşamanın sonunda karışık bir set çözdüm.

Sık sorulan sorular

Ters fonksiyon sorularında her zaman tersi tamamen bulmam gerekir mi?

Hayır. Soru yalnızca f⁻¹(a) gibi tek bir değer istiyorsa f(b) = a denklemini çözmek yeterlidir. Tersin tamamı, soru f⁻¹(x) ifadesinin kendisini ya da onun grafiğini istediğinde gerekir.

Grafik sorularında nereden başlamalıyım?

Önce eksenlerin neyi gösterdiğini ve grafiğin kesiştiği noktaları oku; sonra sorunun istediği değeri grafiğin üzerinde işaretle. Çoğu grafik sorusu, işlem yapmadan önce doğru noktayı bulmakla çözülür.

Parçalı fonksiyonlar ayrı bir konu mu?

Parçalı fonksiyonlar, tanım aşamasının bir uzantısıdır: Her parça kendi aralığında geçerlidir. En sık hata, x değerinin hangi aralıkta olduğuna bakmadan yanlış parçayı kullanmaktır. Hesaplamadan önce aralığı kontrol etmek bu hatayı önler.

Fonksiyonları bitirmeden polinomlara geçebilir miyim?

Tanım, grafik okuma ve bileşke aşamaları oturduysa geçebilirsin; ters fonksiyon ve dönüşümleri paralel olarak tekrar etmeye devam et. Fonksiyon dilini kullanmadan ilerleyen konular daha zor gelecektir.

Fonksiyonlar, AYT'de ayrı bir konu olduğu kadar sonraki konuların ortak dilidir. Beş aşamayı sırayla, her birini hem cebirsel hem grafik olarak çalışır ve kavram yanılgılarını erken temizlersen sonraki konularda aynı zemine tekrar tekrar dönmek zorunda kalmazsın. Konu anlatımından soru çözümüne geçişte takılıyorsan konuyu biliyorum ama soru çözemiyorum yazısı, işlem kaynaklı kayıplar içinse matematikte işlem hataları yazısı tamamlayıcı olur. AYT'ye yapılandırılmış bir başlangıç yapmak istersen kamp programları sayfasındaki AYT Isınma kampına göz atabilirsin.